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可逆矩陣

定義

  

在線性代數中,給定一個n 階方陣A,若存在一n 階方陣B, 使得AB=BA=In(或AB=In、BA=In 任滿足一個),其中In 為n 階單位矩陣,則稱A 是可逆的,且B 是A 的逆陣,記作A^(-1)。

若方陣A 的逆陣存在,則稱A 為非奇異方陣或可逆方陣。等價條件

A是可逆矩陣的充分必要條件是︱A︱≠0(方陣A的行列式不等於0)。

給定一個n 階方陣A,則下面的敘述都是等價的:

A 是可逆的。

A 的行列式不為零。

A 的秩等於 n(A 滿秩)。

A 的轉置矩陣 A也是可逆的。

AA 也是可逆的。

存在一 n 階方陣 B 使得 AB = In。

存在一 n 階方陣 B 使得 BA = In。

計算公式

A^(-1)=(︱A︱)^(-1) A﹡(方陣A的行列式的倒數乘以A的伴隨矩陣)。這個公式在矩陣A的階數很低的時候(比如不超過4階)效率還是比較高的,但是對於階數非常高的矩陣,通常我們通過對2n*n階矩陣[A In]進行行初等變換,變換成矩陣[In B],於是B就是A的逆矩陣。


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