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不動點定理 |
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在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學裡一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石。布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（英語：LEJ Brouwer）。布勞威爾不動點定理說明：對於一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數f，存在一個點x0，使得f(x0) = x0。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤D射到它自身的函數f。而更為廣義的定理則對於所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立。基本概念 不動點定理fixed-point theorem 如果f 是n 1維實心球Bn 1={x∈R n 1|x|≤1}到自身的連續映射（n=1，2，3…），則f 存在一個不動點x ∈Bn 1（即滿足f（x0）=x0）。此定理是LEJ布勞威爾在1911年證明的。不動點問題實際上就是各種各樣的方程（如代數方程、微分方程、積分方程等）的求解問題，在數學上非常重要，也有很多的實際應用。 定理啟示 建立布勞威爾不動點定理是他的突出貢獻．這個定理表明：在二維球面上，任意映到自身的一一連續映射，必定至少有一個點是不變的．他把這一定理推廣到高維球面．尤其是，在n維球內映到自身的任意連續映射至少有一個不動點．在定理證明的過程中，他引進了從一個複形到另一個複形的映射類，以及一個映射的映射度等概念．有了這些概念，他就能第一次處理一個流形上的向量場的奇點． 康托爾揭示了不同的n與空間Rn的一一對應關係． G．皮亞諾(Peano)則實現了把單位線段連續映入正方形．這兩個發現啟示了，在拓撲映射中，維數可能是不變的． 1910年，布勞威爾對於任意的n證明了這個猜想——維數的拓撲不變性．在證明過程中，布勞威爾創造了連續拓撲映射的單純逼近的概念，也就是一系列線性映射的逼近．他還創造了映射的拓撲度的概念——一個取決於拓撲映射連續變換的同倫類的數．實踐證明，這些概念在解決重要的不變性問題時非常有用．例如，布勞威爾就借助它界定了n維區域；J． W．亞歷山大(Alexander)則用它證明了貝蒂數的不變性． 這些都是不動點定理的一種延伸。 等價形式 不動點理論已經成為非線性分析的重要組成部分，該問題的研究已經在偏微分方程、控制論、經濟平衡理論及對策理論等領域獲得了極為成功的應用。本文首先整合了以往文獻關於不動點定理的一些等價形式，然後在H-空間中建立了新型的不動點定理、截口定理及應用。全文共分為三章： 第一章，簡要介紹本文將要用到的凸分析，拓撲空間和集值映射中相關的概念和性質。第二章，整合了不動點定理的一些等價形式。首先，簡單介紹了Brouwer不動點定理的幾個重要的推廣形式，然後通過一系列證明得出不動點定理的若干等價形式：Brouwer不動點定理(?)KKM定理(?)FKKM定理(?)Ky Fan極大極小不等式(?)Browder不動點定理(?)Ky Fan不等式Ⅰ(?)Ky Fan極大極小不等式的幾何形式(?)Ky Fan截口定理(?)Fan -Browder不動點定理(?)Ky Fan不等式Ⅱ。第三章，首先，介紹了H-空間中一些重要的概念。其次，在H-空間中建立了新的Fan-Browder型不動點定理及其幾種等價形式。 歷史 布勞威爾不動點定理是代數拓撲的早期成就，還是更多更一般的不動點定理的基礎，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 證明n = 3 的情況（發表於《純綷及應用數學期刊》之內）。後來在1909年，魯伊茲·布勞威爾（LEJ Brouwer）再次證明。在1910年，雅克·阿達馬提供一般情況的證明，而布勞威爾在1912年提出另一個不同的證明。這些早期的證明皆屬於非構造性的間接證明，與數學直覺主義理想矛盾。現在已知如何構造（接近）由布勞威爾不動點定理所保證的不動點，見例子(Karamadian 1977) 和(Istrăţescu 1981)。 示例 這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的坐標係以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那麼第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。一個更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團（不撕裂），放在原來白紙所在的地方，那麼只要它不超出原來白紙平舖時的邊界，那麼白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過。 這個斷言的根據就是布勞威爾不動點定理在二維歐幾里得空間（歐幾里得平面）的情況，因為把紙揉皺是一個連續的變換過程。 另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標註足夠精確，那麼這個點就是把實際地形射到地圖的連續函數的不動點。 三維空間中的情況：如果我們用一個密封的鍋子煮水，那麼總有一個水分子在煮開前的某一刻和煮開後的某一刻處於同樣的位置。 地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中的不變的，也就是自轉運動的不動點。 [1] |
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