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價值函數 |
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價值函數 value function(有文獻中也用merit function) 反映集合中元素間序關係的函數.設≽是在集合X上的一弱序,且X的無差異類的集X是可測的,則存在一實值函數v∶X→R,使對X中的任何x和y有:x≽y當且僅當v(x)≥v(y),或者x≻y當且僅當v(x)>v(y),以及x~y當且僅當v(x)=v(y).在構造價值函數時,對X中的每個元素設定一相應的v值,它表示該元素排列的次序.i個元素排序的目錄記為L(i). 1.令v(x1)=0,L(1)={1}. 2.設x2≻x1,可令v(x2)=1,並令 L(2)={2,1}. 3.由x3≻x2≻x1,可令v(x3)=2,並令L(3)={3,2,1}. 4.觀察到x3≻x4≻x2,令 則L(4)={3,4,2,1}. 5.觀察到x5≻x3≻x4,可令v(x5)=3,則 L(5)={5,3,4,2,1}. 6.觀察到x6≻x5≻x3,可令v(x6)=4,則 L(6)={6,5,3,4,2,1}. 7.觀察到x3≻x7≻x4,令 則L(7)={6,5,3,7,4,2,1}. 8.可以類似地繼續排出x8,x9,…,並設定或計算相應的v值.設v為在X上由優先序≽所產生的一價值函數.令V為定義在v(X)上的一嚴格遞增的實值變換(保序變換),即V(v1)>V(v2)當且僅當v1>v2;V(v1)=V(v2)當且僅當v1=v2.這樣,對於任何x,y∈X,有x≽y當且僅當V*(x)≥V*(y),而V*(x)=V(v(x)).令X⊂Rn, ≽是在X上的一弱序,再設: 1) 對於任何x,y∈X,x≥y,均有x≻y; 2) 對於任何x,y,z∈X,若x≻y≻z,必有一個 λ∈(0,1), 使y~λx (1-λ)z, 則存在一定義在X上的實值函數v,適合:x≽y當且僅當v(x)≥v(y);x≻y當且僅當v(x)>v(y).設有一定義在集合Y上的價值函數v,v(y)稱為是可測的當且僅當v反映了在Y中各元素的順序和在Y中的元素之差的順序. |
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