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伊藤過程

控制論的發明人維納在1923年指出,布朗運動在數學上是一個隨機過程,提出了用“隨機微分方程”來描述,因此人們也把布朗運動稱為維納過程;日本數學家伊藤發展建立了帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程,

dx(t)=μ(t,x)dt σ(t,x)dz

σ(t,x)是乾擾強度,μ(t,x)是漂移率,σ(t,x)dz服從正態分佈N(0,(σ(t,x))^2)。

該方程描寫的過程是伊藤過程(Ito)。伊藤過程可看成為一般化的維納過程,它直接把布朗運動理解為隨機干擾,從而賦予了布朗運動最一般的意義。

布朗運動是隨機漲落的典型現象, 一般地說,許許多多的宏觀觀測,都要受到布朗運動的限制. 法國經濟學家Bachelier L把股價的變動理想化為布朗運動,在此基礎上,經濟學家把伊藤過程方程用於描寫股票價格)(!)行為過程的一種模式,為更確切地描寫股票價格的行為過程(只限於在短時間內),伊藤過程方程被修正為

dS(t)/S(t)=μdt σdB

其中σ為股票價格波動率、 μ為股票價格的預期收益率,人們把它稱為股價方程,它是一個隨機微分方程.由伊藤過程描述的股價方程是一個正向的隨機微分方程,從確定的S(0)=S0出發,根據布朗運動

的隨機變量B(t)在0-t之間的形態,來推斷軌線的統計行為.


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