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均勻設計

均勻設計(Uniform Design),又稱均勻設計試驗法(Uniform Design Experimentation)),或空間填充設計,是一種試驗設計方法(Experimental Design Method。它是只考慮試驗點在試驗範圍內均勻散佈的一種試驗設計方法。它由方開泰教授和數學家王元在1978年共同提出,是數論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個應用。

簡介

所有的試驗設計方法本質上都是在試驗的範圍內給出挑選代表性點的方法, 方開泰、王元完成的“均勻試驗設計的理論、方法及其應用”,首次創立了均勻設計理論與方法,揭示了均勻設計與古典因子設計、近代最優設計、超飽和設計、組合設計深刻的內在聯繫,證明了均勻設計比上述傳統試驗設計具有更好的穩健性。該項工作涉及數論、函數論、試驗設計、隨機優化、計算複雜性等領域,開創了一個新的研究方向,形成了中國人創立的學派,並獲得國際認可,已在國內外諸如航天、化工、製藥、材料、汽車等領域得到廣泛應用。提出

均勻設計是繼60年代華羅庚教授倡導、普及的優選法和我國數理統計學者在國內普及推廣的正交法之後,於70年代末應航天部第三研究院飛航導彈火控系統建立數學模型、並研究其諸多影響因素的需要,由中國科學院應用數學所方開泰教授和王元教授提出的一種試驗設計方法。均勻設計是統計試驗設計的方法之一,它與其它的許多試驗設計方法,如正交設計、最優設計、旋轉設計、穩健設計和貝葉斯設計等相輔相成。

我們知道,試驗設計就是如何在試驗域內最有效地選擇試驗點,通過試驗得到響應的觀測值,然後進行數據分析求得達到最優響應值的試驗條件。因此,試驗設計的目標,就是要用最少的試驗取得關於系統的盡可能充分的信息。均勻設計即可以較好地實現這一目標,尤其對多因素、多水平的試驗。

原理

分佈理論

均勻設計的數學原理是數論中的一致分佈理論,此方法借鑒了“近似分析中的數論方法”這一領域的研究成果,將數論和多元統計相結合,是屬於偽蒙特卡羅方法的範疇。均勻設計只考慮試驗點在試驗範圍內均勻散佈,挑選試驗代表點的出發點是“均勻分散”,而不考慮“整齊可比”,它可保證試驗點具有均勻分佈的統計特性,可使每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗,任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上,每行每列有且僅有一個試驗點。它著重在試驗範圍內考慮試驗點均勻散佈以求通過最少的試驗來獲得最多的信息,因而其試驗次數比正交設計明顯的減少,使均勻設計特別適合於多因素多水平的試驗和系統模型完全未知的情況。例如,當試驗中有m個因素,每個因素有n個水平時,如果進行全面試驗,共有n∧m種組合,正交設計是從這些組合中挑選出n∧2個試驗,而均勻設計是利用數論中的一致分佈理論選取n個點試驗,而且應用數論方法使試驗點在積分範圍內散佈得十分均勻,並使分佈點離被積函數的各種值充分接近,因此便於計算機統計建模。如某項試驗影響因素有5個,水平數為10個,則全面試驗次數為10∧5次,即做十萬次試驗;正交設計是做10∧2次,即做100次試驗;而均勻設計只做10次,可見其優越性非常突出。

回歸分析

均勻設計是通過一套精心設計的表來進行試驗設計的,對於每一個均勻設計表都有一個使用表,可指導如何從​​均勻設計表中選用適當的列來安排試驗。均勻設計分會還編制了一套軟件《均勻設計與統計調優軟件包》供試驗設計和數據處理、分析使用,非常方便。均勻設計法的試驗數據分析要用到回歸分析方法,例如線性回歸模型、二次回歸模型、非線​​性回歸模型,以及各種選擇回歸變點的方法,也有利用多元樣條函數技術、小波理論、人工神經網絡模型應用於試驗設計和數據分析。具體選擇何種模型要根據實際試驗的具體性質來確定。利用回歸分析得出的模型,即可進行影響因素的重要性分析及新條件試驗的結果估算,預報和最優化。

理論的發展

近幾年來,均勻設計理論研究突飛猛進,對均勻設計和其它試驗設計的關聯和結合,如與正交設計進行了均勻性、最優性比較研究,得出在大多數情況下,特別是模型比較複雜時,均勻設計試驗次數少、均勻性好,並對非線性模型有較好的估計。對線性模型,均勻設計有較好的均勻性和較少的試驗次數,正交設計有較好的估計。雖然均勻設計失去了正交設計的整齊可比性,但在選點方面比正交設計有更大的靈活性,也就是說,它更加註重了均勻性.利用均勻設計可以選到偏差更小的點,更重要的是,試驗次數由108減少到n,從而在實踐中大大降低了成本。從經濟和優化兩個角度衡量,均勻設計確實有其優越性。實踐中若水平數多,因素多而要求試驗次數少的設計,一般用均勻設計來安排試驗;對於因素數,水平數不多,一般採用正交設計。有時,可以將正交設計和均勻設計結合起來使用。

有論文對均勻設計經濟效益評估數理模型進行了探討,並與全面試驗、正交設計作了比較。也有論文對均勻設計的優良性進行了研究,指出還有待進一步發掘,對均勻性本身也還有很多數學背景值得進一步研究。也有論文認為利用模糊理論與均勻設計結合,建立模糊集合數據群,再通過因素與水平選擇,建立模糊模擬均勻設計表,進行數據統計分析、調優,反向推斷。這種模糊理論—— 均勻設計——統計調優的有機結合對某些項目的反設計會有廣闊的應用前景。對應用中的一些問題,如因素與水平的選擇模型的建立提出了很好的建議,指出一個試驗成功的關鍵在於選擇合適的因素和有關的試驗範圍,如果重要的因素沒有選入試驗,則試驗效果將大受影響,甚至失敗,因而在不增加試驗數目的前提下,盡可能多選出一些因素,通過試驗來篩選}並採用多水平試驗以獲得因素和響應之間較為豐富的關係,否則因素主效應和交互效應將會混雜,不能估出,直接影響試驗的效果。對模型未知(包括部分模型已知)時,應進行適當的重複試驗有助於模型識別,尤其當隨機誤差很大時,沒有適當的重複試驗,很難得到可靠的結論.從應用的角度,對理論研究也提出了新的需求,希望能設計出水平數更多的均勻設計表。

優點

試驗次數大大減少

例如某化工試驗,欲找出最優產量或其它優化目標條件。試驗因素3個,每因素在取值範圍內均有7個試驗點。

採用優選法:對多因素同時選優的試驗,不適用。

採用正交法:需做49次試驗,方可找出最優產量或其它優化目標條件。

採用均勻設計:只需做7次試驗即可。

自動將各試驗因素分類

自動將各試驗因素分類為重要與次要,並將因素按重要性排序。

過程數字化

通過電腦對結果與因素條件進行界定與預報(如天氣預報),進而控制各因素。

操作過程

1、明確試驗目的, 確定試驗指標。若考察的指標有多個則一般需要對指標進行綜合分析;

2、選擇試驗因素。根據專業知識和實際經驗進行試驗因素的選擇, 一般選擇對試驗指標影響較大的因素進行試驗;

3、確定因素水平。根據試驗條件和以往的實踐經驗, 首先確定各因素的取值範圍, 然後在此範圍內設置適當的水平;

4、選擇均勻設計表, 排布因素水平。根據因素數、水平數來選擇合適的均勻設計表進行因素水平數據排布;

5、明確試驗方案, 進行試驗操作;


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