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平方數

定義

數學上,平方數,或稱完全平方數,是指可以寫成某個整數的平方的數,即其平方根為整數的數。例如,9 = 3 × 3,它是一個平方數。

平方數也稱正方形數,若n 為平方數,將n 個點排成矩形,可以排成一個正方形。

若將平方數概念擴展到有理數,則兩個平方數的比仍然是平方數,例如, (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。若一個整數沒有除了1 之外的平方數為其因子,則稱其為無平方數因數的數。

舉例

最小的51個平方數為(OEIS中的數列A000290):  構成平方數的星形六角數

0^2 = 0

1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 4^2 = 16 5^2 = 25 6^2 = 36 7^2 = 49 8^2 = 64 9^2 = 81 10^2 = 100

11^2 = 121 12^2 = 144 13^2 = 169 14^2 = 196 15^2 = 225 16^2 = 256 17^2 = 289 18^2 = 324 19^2 = 361 20^2 = 400

21^2 = 441 22^2 = 484 23^2 = 529 24^2 = 576 25^2 = 625 26^2 = 676 27^2 = 729 28^2 = 784 29^2 = 841 30^2 = 900

31^2 = 961 32^2 = 1024 33^2 = 1089 34^2 = 1156 35^2 = 1225 36^2 = 1296 37^2 = 1369 38^2 = 1444 39^2 = 1521 40^2 = 1600

41^2 = 1681 42^2 = 1764 43^2 = 1849 44^2 = 1936 45^2 = 2025 46^2 = 2116 47^2 = 2209 48^2 = 2304 49^2 = 2401 50^2 = 2500

性質

1. 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。

2. 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的,三個平方數之和不能表示形如4k(8m 7) 的數。若一個正整數可以表示因子中沒有形如4k 3 的素數的奇次方,則它可以表示成兩個平方數之和。

3. 平方數必定不是完全數。

表達式

方陣

著名數學家畢達哥拉斯發現有趣奇數現象:將連續奇數相加,每次的得數正好就產生完全平方數。如:1 3(=2^2) 5(=3^2) 7(=4^2) 9(=5^2) 11(=6^2) 13(=​​7^2 )....在奇數和平方數之間有著密切的重要聯繫。一個整數是完全平方數當且僅當相同數目的點能夠在平面上排成一個正方  平方數

形的點陣,使得每行每列的點都一樣多。

通項公式

對於一個整數 n,它的平方寫成 n2。 n2等於頭 n個正奇數的和()。在上圖中,從1開始,第n個平方數表示為前一個平方數加上第n個正奇數,如5^2 = 25 = = 16 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數:9。

遞歸公式

每個平方數可以從之前的兩個平方數計算得到,遞推公式為n^2 = 2(n − 1)^2 − (n − 2)^2 2。例如,2×5^2 − 4^2 2 = 2×25 − 16 2 = 50 − 16 2 = 36 = 62。

連續整數的和

平方數還可以表示成n^2 = 1 1 2 2 ... n − 1 n − 1 n。例如,4^2 = 16 = 1 1 2 2 3 3 4。可以將其解釋為在邊長為3 的矩形上添加寬度為1 的一行和一列,即得到邊長為4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如, 52^2 = 50^2 50 51 51 52 = 2500 204 = 2704.


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