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不定方程 |
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所謂不定方程，是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。 簡介 不定方程淺說 不定方程(indeterminate equation)是數論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的範圍為整數、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組，其未知數的個數通常多於方程的個數。古希臘數學家丟番圖於三世紀初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數論的重要分支學科，也是歷史上最活躍的數學領域之一。不定方程的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論等等都有較為密切的聯繫。 1969年，莫德爾較系統地總結了這方面的研究成果。 歷史 丟番圖 不定方程是數論中最古老的分支之一。 古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。 Diophantus，古代希臘人，被譽為代數學的鼻祖，流傳下來關於他的生平事蹟並不多。今天我們稱整係數的不定方程為「Diophantus方程」，內容主要是探討其整數解或有理數解。他有三本著作，其中最有名的是《算術》，當中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組（變量的個數大於方程的個數）或不定方程式（兩個變數以上）。丟番圖只考慮正有理數解，而 數書九章——大衍類 不定方程通常有無窮多解的。 研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。 ②有解時決定解的個數。 ③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標誌中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數，則此問題即為不定方程組的非負整數解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。 常見類型 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的個數（有限個還是無限個）。 方程類別 一次不定 二元一次不定方程的一般形式為ax by=c。其中 a，b，c 是整數，ab ≠ 0。此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除c。若a、b互質，即它們的最大公約數為1，（x0，y0）是所給方程的一個解， 則此方程的解可表為{(x=x0-bt，y=y0 at ）|t為任意整數}。 S（≥2）元一次不定方程的一般形式為a1x1 a2x2 … asxs=n0a1，…，as，n為整數，且a1…as≠0。此方程有整數解的充分必要條件是a1，…，as的最大公約數整除n。 埃拉托塞尼篩法產生的素數普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希臘數學家歐幾里得就發現了數論的本質是素數，他自己證明了有無窮多個素數，公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼發明了一種篩法： 一“要得到不大於某個自然數N的所有素數，只要在2---N中將不大於√N的素數的倍數全部劃去即可”。 二後來人們將上面的內容等價轉換：“如果N是合數，則它有一個因子d滿足1<d≤√N”。 （《基礎數論》13頁，U杜德利著，上海科技出版社）.. 三再將二的內容等價轉換：“若自然數N不能被不大於（根號）√N的任何素數整除，則N是一個素數”。見（代數學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁）。 四上面這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式： N=p1m1 a1=p2m2 a2=......=pkmk ak。 ⑴ 其中p1，p2，.....，pk表示順序素數2，3，5，，，，，。 a≠0。即N不能是2m 0，3m 0，5m 0，...，pkm 0形。若N<P（k 1）的平方[注：後面的1，2，3，....，k，（k 1）是腳標，由於打印不出來，凡字母后面的數字或者i與k都是腳標] ，則N是一個素數。 五可以把（1）等價轉換成為用同餘式組表示： N≡a1(modp1）， N≡a2(modp2），.....，N≡ak(modpk）。 ⑵ 例如，29，29不能夠被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29=2x14 1=3x9 2=5x5 4。29≡1(mod2），29≡2(mod3）， 29≡4(mod5）。 29小於7的平方49，所以29是一個素數。 以後平方用“*”表示，即：㎡=m*。 |
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