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不定方程 |
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由於⑵的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，⑵在p1p2.....pk範圍內有唯一解。 例如k=1時，N=2m 1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）區間的全部素數。 k=2時，N=2m 1=3m 1，解得N=7，13，19； N=2m 1=3m 2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）區間的全部素數。 k=3時，---------------------| 5m 1-|- 5m 2-| 5m 3,| 5m 4.| ---------------------|---------|----------|------- -|---------| n=2m 1=3m 1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----| n=2m 1=3m 2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| -------------------------------------------------- ---------- 求得了（7，7*）區間的全部素數。倣此下去可以求得任意大的數以內的全部素數。 多元一次不定方程 關於整數多元一次不定方程，可以有矩陣解法、程序設計等相關方法輔助求解。 二次不定方程 二元二次不定方程本質上可以歸結為求二次曲線（即圓錐曲線）的有理點或整點問題。 一類特殊的二次不定方程是x^2 y^2=z^2，其正整數解稱商高數或勾股數或畢達哥拉斯數，中國《周髀算經》中有“勾廣三，股修四，經隅五”之說，已經知道(3，4，5）是一個解。劉徽在註《九章算術》中又給出了（5，12，13），（8，15，17）， (7，24，25），（20，21，29）幾組勾股數。它的全部正整數解已在16世紀前得到。這類方程本質上就是求橢圓上的有理點。 另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整數。利用連分數理論知此方程永遠有解。這類方程就是求雙曲線上的有理點。 最後一類就是平方剩餘問題， 即求x^2-py=q的整數解， 用高斯的同餘理論來描述，就是求x^2≡q(mod p)的剩餘類解。高斯發現的著名二次互反律給出了次方程是否有解的判定方法。這類方程就相當於求拋物線上的整點。 圓錐曲線對應的不定方程求解可以看做橢圓曲線算術性質的一種特例。 高次不定方程 對高於二次的不定方程，相當複雜。當n>2時，x^n y^n=z^n沒有非平凡的整數解，即著名的費馬大定理，歷經3個世紀，已由英國數學家安德魯·維爾斯證明完全可以成立。 有一些高次方程同樣無解： （無解高次方程1) （無解高次方程2) 多元高次不定方程 多元高次不定方程沒有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次 域來討論一些特殊的不定方程的整數解．常用的解法 ⑴代數恆等變形：如因式分解、配方、換元等； ⑵不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的範圍，進而求解； ⑶同餘法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解； ⑷構造法：構造出符合要求的特解，或構造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解； ⑸無窮遞推法。 |
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